Zderzenie (z Wikipedii)
„To ogół zjawisk powstających przy zetknięciu się poruszających się względem siebie ciał. Zazwyczaj za zderzenie uważa się zjawisko trwające krótko, choć używa się także do zjawisk trwających długo np. zderzenia galaktyk.
W fizyce oznacza oddziaływanie pomiędzy poruszającymi się względem siebie ciałami, trwające przez pewien skończony czas. Na zderzające się obiekty nie powinny przy tym działać siły zewnętrzne (czyli takie, których źródłem nie są zderzające się obiekty) lub siły te są na tyle słabe lub zderzenie na tyle krótkie, by ich wpływ można było pominąć. …
Ze względu na ograniczony czas działania sił skutki kinetyczne (zmiana ruchu ciał) zderzenia opisuje się przez określenie ruchu ciał przed i po zderzeniu i zazwyczaj nie analizuje się sił działających podczas zderzenia.”
Interesujące jest jednak to co się dzieje w trakcie zderzenia, a w niektórych przypadkach jest to łatwo realizowalne, przykładem może być „zderzenie” komety ze Słońcem przychodzącej spoza Układu Słonecznego. Przemieszcza się ona po hiperboli. Parametry obu asymptot hiperboli to parametry wejściowe i wyjściowe, a interesujący nas przedział, nawet kilkuletni, jest opisywany prawami mechaniki nieba.
Podobnie od strony eksperymentalnej: R. Hooke, by oszacować spłaszczenie zderzających się kul chuchał na nie, a po zderzeniu mierzył średnicę zniszczonego obrazu chuchnięcia. Pewne charakterystyki przebiegów czasowych można badać przy pomocy przepływających prądów oscyloskopem.
Tu przedstawię model, który jest idealizacją zderzenia podczas kołowania Boeinga 737 z autem dostawczym na lotnisku w Lusace.
Z uwagi na niezbyt wielką dokładność wyznaczenia parametrów i uproszczenia modelu wyliczone wielkości mogą różnić się o ok. 20%. Pierwszoplanowym zagadnieniem jest tu przedstawienie jakościowe zachodzących zjawisk.
Parametry wyznaczone z filmu to:
wysokość auta 4 m (z wysokości skrzydła B-737 i szerokość 3 m z szerokości końcówki skrzydła, i masa raczej z danych ogólnych ok. mauta = 4000 kg (auto + trochę ładunku), środek ciężkości auta oceniłem na 1,3 m. Masa B-737 (po wylądowaniu) to ok. msamol. = 55 t.
Oglądając poklatkowo wyznaczyłem przedział czasu 3,12 s między pierwszym kontaktem skrzydła z autem, a chwilą, gdy już auto leży. W tym czasie skrzydło przebiegło trasę: szerokość auta + wysokość auta + taki sam odcinek pustego miejsca + co najmniej szerokość skrzydła. Razem to daje ok. 3+4+4+1,5 m = 12,5 m. Wyznaczona prędkość samolotu to co najmniej 4 m/s.
Podobnie, mierząc kolebanie się samolotu, wyznaczyłem okres drgań własnych na 0,5 s. Te drgania to naturalny efekt gdy działają siły na obiekty charakteryzujące się odkształceniem sprężystym.
Gwałtowność zderzenia łagodzą amortyzatory auta i samolotu jak też sprężystość skrzydeł. Amplitudę amortyzatorów (rozpatrywanych łącznie a także ze skrzydłem samolotu) to max. 1 m. Przy większej amplitudzie skrzydło mogło by się unieść ponad auto nie kończąc jego przewracania. Maksymalna siła 10,5 T przy tym wychyleniu to już z późniejszego dopasowania do okresu 0,5 s.
[Wychodząc daleko do przodu to dla jakiejś wzorcowej próbki maksymalną siłę i jej zakres można by było wyznaczyć z rozmiarów, gęstości i modułu Younga oraz zakresu sprężystości.]
Skrzydło po uderzeniu niemal w górny narożnik skrzyni ładunkowej, zazębiając się, wymusza przechylenie wokół osi leżącej po przekątnej (5 m) auta aż do chwili gdy przekątna wróci do wysokości 4 m i skrzydło odłączy się. Stanie się to po dwóch szerokościach auta czyli 6 m.
Idealizacja polega na tym, że auto zastępujemy masą w środku ciężkości, oddalonym od osi obrotu o r oraz nieważką dźwigną o długości R połączoną z masą odpowiednią sprężyną.
r = (1,32+1,52)1/2 =1,984943 m
R = (32+42)1/2 = 5 m
Początkowe kąty beta i alfa określają ich różnicę, przy której nie ma naprężenia wychylającego amortyzatorów. Zgodnie z prawem Hooke’a działająca siła jest proporcjonalna do odchylenia od tej różnicy.
Skrajne wartości kąta alfa to (odpowiednie arcusy) w radianach:
alfa_min = atan(1,3/1,5) = 0,714091 rd.
alfa_max = pi - atan(1,5/1,3) = 2,284887 rd.
Odpowiednie warunki w Excelu JEŻELI powodują, że auto nie zagłębia się w ziemi.
Podobnie skrajne wartości kąta beta to:
beta_min = atan(4/3) = 0,927295 rd.
beta_max = pi - atan(4/3) = 2,214297 rd.
Odpowiednie warunki w Excelu JEŻELI powodują, że działająca siła skrzydła zeruje się po oderwaniu od auta. Po przekroczeniu tej wartości nieważka dźwignia nie wpływa na ruch.
Uproszczenie polega też na tym, że samolot ma tylko energię kinetyczną (brak napędu) oraz pomijam niewyznaczalne z filmu tarcie.
Minimalna siła potrzebna do quasi statycznego przewracania auta to (z porównania momentów sił):
Fstat.(alfa) = m*r*g*cos(alfa) /(R*sin(alfa+atan(4/3)-atan(1,3/1,5)))
Wykres potrzebnej siły w zależności od kąta alfa (w radianach) przedstawia poniższy rysunek.
Widzimy, że przewracanie należy rozpocząć od siły ok. 1,5 T.
Gdy uwzględniamy prędkość skrzydła to musimy działać z odpowiednio większą siłą, tak by rozpędzony koniec dźwigni nadążał uciekać przed skrzydłem. W innym wypadku dźwignia wbijała by się w skrzydło. Podobnie będzie przy przekroczeniu wytrzymałości struktury skrzydła. Oba te przypadki wyprowadzają nas poza zakres stosowania tego modelu. Czyli przecinanie skrzydła lub brzozy tu nie jest rozpatrywane.
Ciąg obliczeń jest następujący:
Po początkowym kontakcie końcówka skrzydła podczas kroku czasowego dt przebiega drogę
s = vsamol*dt.
Kąt beta rośnie o wartość dbeta z rozwiązania równania trygonometrycznego
R*cos(beta)-R*cos(beta+dbeta) = s:
dbeta = acos(cos(beta)-s/R)-beta.
Naprężone amortyzatory generują siłę
F = FA*dbeta/(beta-alfa)max, czyli proporcjonalną do zmiany różnicy kąta (beta-alfa), gdzie
FA – to siła przy maksymalnym dopuszczalnym wychyleniu,
(beta-alfa)max – to zakładana maksymalna różnica między kątami beta i alfa.
Z porównania momentów sił możemy wyznaczyć przyspieszenie kątowe auta eps:
F*sin(beta)- Fstat.*cos(alfa) = I * eps, gdzie
I jest to moment bezwładności auta.
Dla modelu masy skupionej w środku ciężkości to:
I = mauta*r2, stąd
eps = (FA*dbeta/(beta-alfa)max*sin(beta)- m*r*g*cos(alfa) /(R*sin(alfa+atan(4/3)-atan(1,3/1,5))))/(mauta*r2)..
Następnie wyznaczamy prędkość kątową i zmianę przesunięcia kątowego auta
omega(t+dt) = omega(t)+eps*dt
dalfa(t+dt) = omega(t) * dt + eps*dt2/2.
W Excelu są wstawione odpowiednie warunki, które zerują te dwie wartości by auto nie zagłębiało się w ziemi.
Obliczam popęd F * dt a z niego zmianę prędkości samolotu
dvsamol. = F * dt/m samol..
Cykl jest zamykany obliczeniem nowych wartości alba, beta, vsamol.. Ten cykl jest powtarzany 32000 razy. Program w Excelu będzie w pierwszym komentarzu. Czyli w odróżnieniu od niektórych podaję wszystkie dane wejściowe :)))
Każdy będzie mógł na własną rękę sprawdzić rachunki, a także przeliczyć własne przypadki choćby tylko żonglując wartościami.
WYNIKI
Rozpocznę od prędkości samolotu 0,171 m/s, krok czasowy 0,002 s
Uwaga: przy porównywaniu amplitud między różnymi wykresami należy zwrócić uwagę na zakresy skali, gdyż zmieniają się one znacznie.
Czerwona linia to wychylenia dźwigni, jak widzimy porusza się do przodu jak i do tyłu, czyli samolot kołysze się na aucie z przybliżonym okresem ok. 4 s.
Niebieska linia (stała) pokazuje, że auto stoi bez odrywania się od ziemi.
Siła (zielona linia) jest w tym przypadku zbyt mała by poruszyć auto. Przy występującej w rzeczywistości sile tarcia amplituda zmian malałaby.
Następnie prędkość samolotu przyjmuję 0,500 m/s, krok czasowy 0,002 s.
Wychylenia dźwigni są podobnie do przodu jak i do tyłu, czyli samolot również kołysze się na aucie ale z dłuższym „okresem”.
Niebieska linia pokazuje, że auto już się unosi i drga rytmicznie. Opada i ponownie się unosi. Cykle nie powtarzają się. Siła (zielona linia) pokazuje oscylacje o zmiennej amplitudzie, są to drgania własne samolotu (amortyzatorów i skrzydła) i oczywiście wymuszone przez nie drgania znacznie lżejszego auta.
Kolejne to dwie bliskie sobie prędkości samolotu rośnie do 0,995 m/s i 0,996 m/s, krok czasowy pozostaje 0,002 s.
Przy tych prędkościach różnice są jakościowe. W pierwszym przypadku jeszcze jest kołysanie się, w drugim już przewrócenie. Działanie skrzydła gwałtownie urywa się, po krótkiej chwili auto upada na bok i tak pozostaje. Kąty alfa i beta stabilizują się.
Wyższe prędkości samolotu również prowadzą do przewrócenia auta. Dla zalecanej prędkości kołowania 8 km/h, czyli 2,222 m/s i kroku czasowego 0,00011 s obraz jest bardziej szczegółowy.
Widzimy chwilowe i trwające krótki czas uderzenia z siłą nie przekraczającą 4 T. Ponadto ta siła nie jest hamowana wytrzymałością skrzydła lecz działaniem zwrotnym amortyzatorów. Widać też swobodny upadek po 3 sekundzie trwający ok. 0,3 s.
Podobnie z bardziej realnymi prędkościami samolotu 4,000 m/s i 6,000 i jeszcze mniejszego kroku czasowego 0,000065 s.
Widzimy chwilowe i trwające krótki czas uderzenia z siłą, która wzrasta w drugim przypadku aż do ponad 7 T. najprawdopodobniej jest to siła już wystarczająca do stopniowej destrukcji skrzydła mimo działania zwrotnego amortyzatorów.
Przegląd kończę prędkością samolotu 9,44 m/s.
Jest to graniczna prędkość, przy której amplituda wychylenia skrzydła przekracza założone 1 m. Auto może być przewrócone jednym uderzeniem o maksymalnej sile przekraczającej 10 T.
Od tego modelu do ścinania brzozy czy skrzydła jest jeszcze bardzo daleko, niemniej warto mieć w pamięci i wyobraźni również te mocno ograniczone przedstawienie zderzeń.
Bardziej teoretyczne podejście do drgań własnych można znaleźć np. w : http://www.fuw.edu.pl/~wysmolek/Mechanika/wyklad27.pdf
