Zdefiniujmy operator E w sposób następujący:
E = ed/dx = 1 + (d/dx)/1!+ (d2/dx2)/2! + (d3/dx3)/3! + …
Dla funkcji f(x) jest taki punkt x0, że funkcja jest w nim rozwijalna w szereg potęgowy o promieniu zbieżności R > 1.
Wykazać, że:
Ef(x) = f(x+1)
Zakładamy, że punkty x oraz x+1 są w tym samym promieniu zbieżności.
Uzupełnienie
Zasadniczo zadanie zostało rozwiązane. Część w sposób domyślny, a prawdziwy jak też w sposób ewidentny przez ZZZZ. Nawet z rozszerzeniem o parametr h.
E(h) = eh*d/dx = 1 + (d/dx)*h/1!+ (d2/dx2)*h2/2! + (d3/dx3) *h3/3! + …
Działanie takiego operatora daje:
E(h)f(x) = f(x+h)
Podobnie korzystając z innych znanych rozwinięć mamy
Ch(h)f(x) = (f(x+h)+f(x-h))/2;
Sh(h)f(x) = (f(x+h)-f(x-h))/2;
jak też
Cos(h)f(x) = (f(x+ih)+f(x-ih))/2;
Sin(h)f(x) = (f(x+ih)-f(x-ih))/2i.
Jak widać wdepnęliśmy w liczby zespolone.
Ciekawym przypadkiem są też funkcje otrzymane z rozwinięcia exponentu, ale brane co któryś wyraz (funkcje: ch to wyrazy parzyste, sh wyrazy nieparzyste). Jeżeli bierzemy co p+1 wyraz to otrzymujemy p+1 funkcji rozpoczynających się od 0,.1,…p wyrazu. Wprowadził je w 1757 r. Riccati. Można je znaleźć pod nazwą Generalized Hyperbolic Functions. Niestety nie znalazły one dotąd zastosowania. Ja tu w skrócie nazwę je hipersinus, a jeszcze bardziej skrótowo hsk(fi), gdzie wskaźnik k oznacza numer początkowego wyrazu. Dla każdego p jest to nowy zestaw funkcji.
Funkcje ch = hs0 i sh = hs1, gdzie p = 1.
hs0(fi)f(z)=(f(z+fi)+f(z+e1fi) +f(z+e2fi)+… +f(z+epfi))/(p+1)
gdzie ek to k-ty pierwiastek z jedynki.
Czyli daje średnią z wianuszka p+1 punktów okręgu o środku z i promieniu |fi|, jako że fi może być zespolone.
Te funkcje są ciekawsze gdy zależą od p zmiennych ale to inna historia.
Deda wspomniał o równaniach z "odchylonym argumentem" i to było głęboko w tle tych rozważań. Dla przykładu równanie różniczkowe podane w dwu punktach:
df(x)/dx=a*f(x-h)
Możemy sprowadzić do obliczeń w jednym punkcie
(d/dx - a*E(-h))f(x)=0,
a następnie korzystać ze znanych transformat do rozwiązania tego zadania.
A może ktoś wymyśli taką transformatę by wystarczało do rozwiązania znać tożsamości trygonometryczne :)
Równania z odchylonym argumentem są bardzo często stosowane w sterowaniu.
Np. pod prysznicem gdy ustawiamy właściwą temperaturę wody, a czujnik (czyli plecy) z opóźnieniem odbierają efekt sterowania (kranem). Gdy działamy chaotycznie to polewamy się raz ukropem, raz wodą lodowatą.
W sterowaniu samolotem też mamy opóźnienie efektu i pilot może przesadnie reagować. Były przypadki rozbicia się samolotu z tej przyczyny, jak też bardzo niebezpieczne lądowanie jednego z promów kosmicznych w bazie Edwards.
W ekonomii wprowadzenie kapitału z reguły daje opóźniony efekt.
Komentarze