JakiTaki JakiTaki
1982
BLOG

Losy gałęzi topolowych

JakiTaki JakiTaki Katastrofa smoleńska Obserwuj temat Obserwuj notkę 94

Niedawno otrzymałem od @Tiger65 następujące rozbudowane zadanie.

Jeszcze jedna prośba. Mógłbyś oszacować siły i moment siły jakie wystąpiły w miejscu spojenia statecznika pionowego z ogonem podczas ścinania i zmiecenia na drugą stronę Kutuzowa połowy korony topoli widocznej na tym zdjęciu?:
Trzeba oszacować masę ściętej korony i drogę po której stateczniki (poziome i pionowy) przyspieszają konary i gałęzie od zera do 74m/s.

Losy gałęzi topolowych

Zdjęcie topoli jest nieco inne ale problem i to kuriozalny ten sam. Zadanie należy rozwiązać w oparciu o to czego nie ma na zdjęciu. Należało sięgnąć do podobnych zadań. U Stanisława Lema znalazłem następujący ustęp:

Jak wiadomo, smoków nie ma. Prymitywna ta konstatacja wystarczy może umysłowi prostackiemu, ale nie nauce, ponieważ Wyższa Szkoła Neantyczna tym, co istnieje, wcale się nie zajmuje; banalność istnienia została już udowodniona zbyt dawno, by warto jej poświęcać choćby jedno jeszcze słowo.

Tak tedy genialny Kerebron, zaatakowawszy problem metodami ścisłymi, wykrył trzy rodzaje smoków: zerowe, urojone i ujemne.

Udało się Kerebronowi więc i ja postanowiłem użyć metod ścisłych do wydobycia danych ze stanu niebytu, w tym analizy, teorii mnogości i nomen omen topologii. Z doskoku również skorzystam z metod dendrologii.

Jako że szczegóły opisu mogą różnić się od gałązki do gałązki ujednolicę to idealizując, a oczywiste odchyłki jednostkowe wyrażą się przez zaokrąglenia wartości.

 

Definicja topoli

1) Topola to zbiór dobrze uporządkowany rozgałęzionych elementów stożkopodobnych.

2) Każde rozgałęzienie elementu topoli składa się z kontynuacji elementu i odgałęzienia. Każdy z tych członów jest rozgałęzionym elementem stożkopodobnym.

3) Powierzchnia elementu w miejscu rozgałęzienia jest równa sumie powierzchni rozgałęzień.

4) Każdy element od punktu rozgałęzienia zachowuje proporcjonalność wymiarów całej topoli.

 

Wyjaśnienia

Ad 1) To że topola jak większość drzew jest rozgałęziona to każdy widzi. W zbiorze dobrze uporządkowanym istnieje element pierwszy i następniki (kolejno: pień, konar, gałęzie, gałązki,…).

Ad 2) Drugie zdanie wskazuje na topologię fraktalną topoli i jej części podobnych do całości.

Ad 3) To wynika z ciągłości włóknistej struktury topoli.

Ad 4) To można z pewną dokładnością sprawdzić, jest wynikiem wspólnej struktury DNA i wielowiekowe przystosowanie do warunków zewnętrznych. Niejednokrotnie też udało się wyhodować drzewo z jej gałęzi. Rachunkowo to podstawowy, ułatwiający element tego przedstawienia.

 

Dendrologia wyróżnia kilka modeli drzew. Najlepiej traktować drzewo jako pień z wprasowanymi do niego gałęziami. Z reguły są to bryły obrotowe z osią przechodzącą przez środek pnia.

Najprostszym modelem jest stożek utworzony przez obrót funkcji liniowej wokół wartości x = 0.

y = R*(1 - x/H)

Rozważę również dwie inne nazwane dalej na wykresach pierw_1 i pierw_2. Swoboda wyboru była ograniczona przez wykonalność i możliwość przedstawienia w postaci analitycznej odpowiednich wielu całek w dalszych rachunkach.

y = R*(1 - x/H)1/2

y = R*(1 - x2/H2)1/2

We wszystkich przypadkach przyjmę dosyć prawdopodobne wartości dla pnia i drzewa:

R = 0,5 m - promień przy podstawie,

H = 24 m - wysokość.

Dodam, że te wymiary są oszacowane ze zdjęcia. Jeżeli rzeczywiste wymiary są inne to odpowiednie masy należy pomnożyć przez trzecią potęgę skali. Średnica pnia jest liczona jako 1 m. Jeżeli w rzeczywistości wynosi 1,1; 1,2; 1,25 m to mnożniki powinny wynosić 1,331; 1,728; 1,953.

Dla gałęzi te wartości będą mniejsze ale zawsze zostanie zachowany związek (punkt 4 definicji)

H = 48 * R.

Losy gałęzi topolowych

Powyższy wykres przedstawia porównanie modeli (oczywiście znacznie rozciągniętych w poziomie).

Z obliczeń wychodzą odpowiednie masy całkowite tych brył. Gęstość  przyjmę równą 800 kg/m3. W kolejności: stożek, pierw_1 i pierw_2 mamy

mc = pi*ro*R2*H/3;    mc = pi*ro*R2*H/2;    mc= 2*pi*ro*R2*H/3;   

co daje proporcje drzewnych mas w stosunku do stożka:

stożek : pierw_1 : pierw_2 = 1 : 3/2 : 2.

Konieczne do dalszych rachunków odpowiednie środki ciężkości znajdują się na osi, na wysokościach:

H/4;    H/3;    3H/8.

Wartość h na rysunku to grubość statecznika. Ta wysokość w rzeczywistości jest mała i w skali rysunku powinna wynosić około 1/96 wysokości H.

Przez bezpośrednie porównanie zdjęcia topoli ze stożkiem przekonałem się, że ten model zajmuje się częścią drzewa raczej tartacznie użyteczną. Pomija część pnia i gałęzie, a nam właśnie o gałęzie chodzi. Natomiast model pierw_2 opisuje drzewo o koronie bardziej kulistej niż stromej jaką ma topola. Do dalszych obliczeń przyjmę więc model pierw_1.

Masy kolejnych brył i odpowiadającym ich odciętych gałęzi wraz z dalszymi rozgałęzieniami liczonych od najbliższego rozgałęzienia przed odcięciem wynoszą:

mck= pi*ro*Rk2*Hk/2

ale z przyjętej proporcji Hk = 48 * Rk wynika wartość masy, poza stałymi, wyrażoną jedynie przez trzecią potęgę promienia gałęzi w linii cięcia. A te wartości możemy łatwo wyznaczyć ze zdjęcia. Masa całkowita części odciętej jest sumą:

mc = 24*pi*ro*Σnk=1(Rk3)

Ze zdjęcia można było wybrać 13 cięć o masach od największej 117 kg (korona od głównego pnia), 44 kg, 25 kg do najmniejszej 0,28 kg. Razem:

modcięta = 239 kg.

Ta masa jest z policzona z nadmiarem ponieważ do niej zostały włączone resztki nieodciętych gałęzi gdy rozmiar średnicy cięcia nie różnił się ze względu na jakość zdjęcia nawet o 1 piksel przed i po rozgałęzieniu z tymi kikutami. Tak mała liczba (13 gałęzi) wynika z drastycznie małego wkładu cieńszych gałązek wynikającego w trzeciej potęgi promienia cięcia.

W lasach można kupić kubik chrustu grubogałęziastego. Jego masa, zgodna z odpowiednią normą, wynosi 200 - 300 kg.

 

Dynamika zderzenia ze statecznikami

Gałęzie topoli zderzały się ze statecznikami poziomymi. Ich grubość to ok. 0,25 m przy rozgałęzieniu stateczników do 0,15 m przy końcach. Odpowiednio cięciwa stateczników to od 4 m do 2 m. W rachunkach przyjmę większe wartości. W procesie zderzania gałęzie były odcinane od kikuta, odchylane i rozpędzane zarówno zderzeniem jak i tarciem wywołanym przez bezwładnościowy docisk o powierzchnię statecznika.

Stosunkowo duża wiotkość gałęzi pozwala przyjąć, że w pełnym procesie zderzenia jest rozpędzany do prędkości samolotu tylko wycinek gałęzi o długości równej grubości statecznika (na poprzednim rysunku wielkość h), a następnie ten wycinek przekazuje pęd i energię reszcie gałęzi, m.in. może się to odbywać w postaci znanej z uderzeń bicza przekazujących energię z uchwytu stopniowo na coraz to cieńszą końcówkę doprowadzając nawet do przekroczenia prędkości dźwięku przez tą końcówkę.

 

Masa takiego wycinka (już tylko model pierw_1) wynosi

mw = pi*ro*h*R2*(2H - h)/(2H)

jako że masa całej gałęzi to:

mc = pi*ro*H*R2/2

więc

mw = h*mc*(2H - h)/H2

Odpowiednio pęd i energia kinetyczna początkowa:

p = mw*vp = h*mc*(2H - h)*vp/H2

Ekp = mw*v2p/2 = h*mc*(2H- h)*vp2/(2H2)

Moment bezwładności gałęzi względem osi przechodzącej przez środek ciężkości:

I = mc*(36R2 + 11H2)/135

oraz moment pędu względem osi w środku ciężkości

J = h*mc*vp*(12H3 - 18h*H2 - 4h2*H + 9h3)/(2H3)

możemy wyliczyć prędkość kątową:

ω = J/I = 15h*mc*vp*(12H3 - 18h*H2 - 4h2*H + 9h3)/(2H3*(36R2 + 11H2))

To jest cały fundusz wielkości dynamicznych jakim dysponuje gałąź.

 

Z prawa zachowania pędu wyliczamy prędkość postępową gałęzi:

 mw*vp = mc*vk,  a stąd  vk = h*vp*(2H - h)/H2

Energia kinetyczna ruchu postępowego całej gałęzi

Ekk = mc*vk2/2 = h2*mc*vp2*(2H - h)2/(2H4)

Energia kinetyczna ruchu obrotowego

Eko  = I*ω2/2 = 5h2*mc*vp2*(12H3 - 18h*H2 - 4h2*H + 9h3)2/(24H6*(36R2 + 11H2))

 

Dotąd wykorzystaliśmy prawa zachowania pędu oraz momentu pędu. Z prawa zachowania energii wyznaczamy część nie uwzględnioną w dwu poprzednich.

Ekp= Ekk+ Eko+ Ed

Wyliczona z tego równania energia Ed (wzór pomijam bo jest zbyt długi), którą będę nazywał energią destrukcji, zawiera się w niej nierozdzielony konglomerat różnych zachowań: wyginanie, wibracje, złamania, rozszczepienia drzazgowe, a także ciepło. Ten ostatni składnik może okazać się naprawdę duży.

Podsumowujące porównanie udziału procentowego tych energii w zależności od długości gałęzi H przedstawia poniższy wykres. Energia kinetyczna początkowa wycinka  to 100%. Grubość statecznika h przyjąłem jako równy 0,25 m.

Losy gałęzi topolowych

Prześledźmy ten wykres.

Jeżeli długość odciętej gałęzi nie przekracza grubości statecznika (0,25 m) to ta część gałęzi przejmuje całą energię kinetyczną początkową Ekk = Ekp i leci dalej z prędkością samolotu. Dla większych długości gałęzi wkład tej energii, a tym samym i prędkości końcowej gałęzi maleje.

W przedziale H  0,25-0,75 m środek ciężkości gałęzi (H/3 ) znajduje się na odcinku grubości statecznika i momenty sił częściowo się znoszą co daje zmniejszenie energii ruchu obrotowego . Ta składowa rośnie szybko ze wzrostem H aż do maksimum dla wartości H = 1,06 m. Rośnie również energia destrukcji.

Dla  H = 1,27 m największą energią, a od  H = 1,85 m większą niż suma pozostałych, jest energia destrukcji i dalej rośnie. Wkład pozostałych energii natomiast maleje.

 

Odcięta od pnia korona

Masa odciętej korony wynosi 117 kg, wycinek bezpośrednio rozpędzany 9,6 kg (ze względu na nieznany kształt przełamania może być cięższy). Z pomiarów ze zdjęcia wynika, że została odcięta (drzazgowo) na wysokości 18 m, czyli ma wysokość 24 - 18 = 6 m. Prędkość postępowa wycinka równa prędkości samolotu to 75 m/s. Została ona osiągnięta w czasie przelotu cięciwy skrzydła (4 m) z prędkością 75 m/s, czyli 4/75 s. Średnie przyspieszenie wycinka to ponad 143 g.

Podobnie prędkość kątowa gałęzi wynosi 4 rad/s. Cienkie końcówki gałęzi są w odległości 3,75 m. Prędkość liniowa tych końcówek powinna wynieść 18 m/s. Konieczne przyspieszenie to 34 g. Każde z obu przyspieszeń zdecydowanie przekracza wytrzymałość zwłaszcza cienkich gałęzi. Tak więc korona uległa przy oderwaniu dodatkowej destrukcji i leciała w kawałkach z różnymi ich prędkościami. Należy zwrócić uwagę że na destrukcję w tym przypadku idzie ponad 80% energii całkowitej. Ze względu na duży rozrzut prędkości kawałków, wysokości początkowych i parametrów aerodynamicznych możemy oczekiwać raczej pasma odłamków a nie jednoznacznej wartości.

Siła działająca na wycinek wynosi  

F = 9,6 kg*143 g = 1370 kG.

Odległość uderzenia wycinka od rozgałęzienia stateczników to ok. 1-2 m. Tak więc moment siły nie przekracza 3 T*m i najprawdopodobniej mieści się w granicach eksploatacyjnych.

 

Wracając na chwilę do początku notki możemy zrozumieć tak wysoką atencję przez Trurla i Klapaucjusza ich mistrza Kerebrona za jego wiedzę i umiejętność jej przekazania im tak by mogli widzieć ład i harmonię tam gdzie inni, pozbawieni tej wiedzy mogli dostrzec tylko pustkę i nicość.

JakiTaki
O mnie JakiTaki

No właśnie Jaki Taki. Sporo wiem i potrafię ale nie wszystko. Chętnie dalej się uczę i doceniam tych, którzy w tym pomagają, niezależnie od formy douczania. Polityką nie interesuję się dopóki ona nie interesuje się mną.

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Polityka